2018-08-02-complex

直观理解虚数、欧拉公式、傅立叶变换

虚数、欧拉公式、傅立叶变换之前在我看来都是比较抽象的东西,一直没有在脑海里形成一个直观形象的理解,最近翻阅了一些资料从形象的角度而不是纯理论的角度进行了阐明,有种豁然开朗的感觉,记录如下。

1、理解虚数

考虑方程: \[ 1*x^2 = 9 \]

得到\(x=3\)或\(x=-3\):

image

那么方程: \[ 1*x^2 = -9 \] 得到\(x=3i\)或\(x=-3i\),该怎么理解, + 当\(x=3i\)的情况,可以理解为把1做了两次操作,每次“在尺度上扩大了3倍,且逆时针旋转90度”,最后得到-9。 + 当\(x=-3i\)的情况,可以理解为把1做了两次操作,每次“在尺度上扩大了3倍,且顺时针旋转90度”,最后得到-9。

\(i\)是虚数,乘以\(i\)可以从坐标轴上理解为逆时针旋转90度,注意实数的坐标轴是一条直线,在实数轴上的操作,要么方向不变,要么方向变为与原来成180度,因此两次相同的操作不可能与原来成180度,因此必须要扩大坐标体系的表达能力才能解这个方程,从而引出了复数平面的概念:

image

通过增加一个与实数轴垂直的虚数轴,从而把数字的表达能力升维,从“一维”直线变为“二维”平面,引入额外的维度当然不是瞎折腾,是为了解决问题,可以看下面的例子,事实上如果看参考资料里关于“四元数”的介绍,“四元数”引入了额外三个虚部维度。

假设现在你位于一条船上,船的朝向东3个单位,北四个单位,如果想船头逆时针旋转45度,求现在船头的朝向是多少?

image

解法一:

可以通过三角函数sin,cos进行求解,但是为了得到最终结果计算起来会很麻烦。

解法二:

使用复数坐标体系进行求解计算,只需要一个乘法操作,

\[ (3+4i)*(1+i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 \] \[ \quad = -1 + 7i \] 所以新的船头方向为西向1个单位,北向7个单位。

可以看到对实数直线进行升维到复数平面,可以把问题求解极大的简化。

2、理解欧拉公式

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \] 欧拉公式把最基本的五个常数:\(e\),\(i\),\(\pi\),\(0\),\(1\)通过简单的加法乘法融为一体,被成为最美数学公式。

\(\pi\),\(0\),\(1\)这三个都是实数领域大家都比较熟的常数,\(i\)是虚数领域的基本单位,上文已经介绍过了,下面介绍一下\(e\):

如果你有1块钱,现银行年化收益率为100%,那么把这一块钱存入银行,第二年能取到2块钱,如果银行同意半年结算一次的话,半年能获得\( 100\% / 2 = 50\%\)的利息,半年后能获得1.5元,本息合并再次存入半年后总计得到\({(1 + \frac{100\%}{2})}^2=2.25\)元。如果要是以季度进行结算,那么可以获得\({(1 + \frac{100\%}{4})}^4=2.4414\)元。如果以月份进行结算,那么可以获得\({(1 + \frac{100\%}{12})}^{12}=2.613035\)元,可以看到结算的频率越高获得的收益越大,那么现在的问题是如果结算频率足够高,是不是一年之后财富就可以无限多了呢,即\(lim_{n \to \infty}{(1 + \frac{100\%}{n})}^{n}=?\)。事实上这个值不会变得无限多,它会收敛到\(e\),这种利率计算也叫连续复利。

上面提到的是利率为100%,时间为1年的情况,进行一步扩展,利率为R,时间为t,那么连续复利的计算为:

\[ lim_{n \to \infty}{(1 + \frac{R}{n})}^{nt}= e^{Rt} \]

这是实数领域的讨论,下面把问题扩展到虚数领域 \[ lim_{n \to \infty}{(1 + \frac{i}{n})}^{n}= e^{i} \]

两者理解含义对比如下表:

x = R i
x含义 利率 旋转增长率
\(e^x\)含义 1单位本金在R利率下经过1单位时间总收益 1单位长度在旋转增长率为i的情况下经过单位弧度旋转程度

\(e^i\)表示单位时间的旋转变换,\(e^{i\pi}\)表示1单位长度旋转\( 180 \degree \)的结果,即-1,即:

\[ lim_{n \to \infty}{(1 + \frac{i}{n})}^{n\pi}= e^{i\pi} = -1 \] \[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

注意到欧拉公式是旋转\(\pi\)弧度的特例,在旋转的中间过程(如x弧度),同样可以表示,注意旋转的时候长度是不变的,只有旋转程度发生了变换,如下图:

image

这种表示方法即:

\[

e{ix} = cos(x) + i sin(x)

\] 令\(x=\pi\)即得到欧拉公式。

同复数提出是为了更加方便的解决问题一样,通过欧拉公式,我们可以很容易的把一个复数在直角坐标系或者极坐标系转换,而这两种坐标系根据问题的不同都非常有用,因此借助欧拉公式,我们就可以在我们认为更便利的坐标体系下工作了。

3、理解傅立叶变换

傅立叶变换是把整体拆成构成成份的问题,这里以奶昔为例子,整体上来看,这是一杯奶昔,就成份来看香蕉、橘子、牛奶、水构成,通过合适的过滤器,奶昔可以过滤分离出各种成份,拥有了所有的成份也可以合成奶昔。

image

类比于奶昔的例子,傅立叶级数是一种用正弦/余弦波叠加来表示周期函数的一种方式,即使是非周期函数也可以认为是周期无穷大的周期函数。下面这个gif完美诠释了傅立叶级数,一个锯齿形的周期函数由若干个正弦波叠加形成:

image

通过这个gif图可以看出,一个锯齿形函数f,被拆成了n个由正弦和余弦,并进行了展开,叠加投射在时间域上即得到函数f,同样的可以把每个波函数的频率投射在侧面的频率域上就得到了一组频谱,现在可知对于同样的一个函数存在两种表达形式:一种是时间域上的表达,一种是频率域上的表达。

通常我们直接观察到的函数都是时间域上的,为什么我们还要把它转换到频率域上呢,是因为在频率域上可以很容易的做一些滤波处理(只要砍掉不需要的频率即可),然后再把滤波后保留下来的关键频率还原回时间域上的函数就可以达到我们的目的,比如收音机只收听指定频道的声音,图像保留关键信息去掉非关键信息等。

4、Reference

联系我: